Halaman
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN1RELASI DAN FUNGSIMATEMATIKA UMUM KELAS XPENYUSUNENTIS SUTISNA, S.Pd.SMA Negeri 4 Tangerang
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2DAFTAR ISIPENYUSUN....................................................................................................................................................1DAFTAR ISI...................................................................................................................................................2GLOSARIUM..................................................................................................................................................3PETA KONSEP..............................................................................................................................................4PENDAHULUAN..........................................................................................................................................5A. Identitas Modul...........................................................................................................5B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................5C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................5D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................5E. Materi Pembelajaran...................................................................................................6KEGIATAN PEMBELAJARAN 1............................................................................................................7RELASI , FUNGSI DAN FUNGSI LINIER............................................................................................7A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................7B.Uraian Materi..............................................................................................................7B.Rangkuman...............................................................................................................21C.Latihan Soal..............................................................................................................22D.Penilaian Diri............................................................................................................26KEGIATAN PEMBELAJARAN 2..........................................................................................................27FUNGSI LINIER, FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL............................................27A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................27B.Uraian Materi............................................................................................................27C.Rangkuman...............................................................................................................44D.Latihan Soal..............................................................................................................45Pembahasan Latihan Soal....................................................................................................................47E.Penilaian Diri............................................................................................................53EVALUASI....................................................................................................................................................54DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................................................58
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3GLOSARIUMDaerahAsal/Domain :Himpunan tak kosong dimana sebuahrelasi didefinisikan.Daerahkawan/kodomain:Himpunantidakkosongdimanaanggota domain memiliki pasangan sesuai dengan fungsi yang didefinisikan.Daerahhasil/range : Suatu himpunan bagian dari daerahkawanFungsiLinear:Suatu fungsi yang grafiknya berupa garis.FungsiKuadrat:Suatu fungsi yang grafiknya berupa parabola.Gardien :ukuran kemiringan suatu garis..FungsiInjektif :fungsi f: X → Y dikatakan injektif jika tidak ada duaanggota X yang mempunyai bayangan sama di bawahfungsi fFungsi Bijektif : Fungsi satu-satu padaGrafik :Grafik suatu fungsi adalah himpunan semua titik yangkoordinatnya memenuhi persamaan fungsi.Relasi :Relasi dari himpunan A ke himpunan B, dinyatakansebagai R: A →B adalah aturan yangmenghubungkan a ∈A dengan b ∈BFungsi Surjektif: Sama dengan fungsi injektif
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4PETA KONSEPFungsiSifat FungsiJenis FungsiOperasi FungsiFungsi SurjektifFungsi InjektifFungsi BijektifFungsi LinearFungsi KuadratFungsi RasionalPenjumlahanPenguranganPerkalianPembagian
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika UmumKelas:XAlokasi Waktu:12JPJudul Modul:FungsiB. Kompetensi Dasar3.5Menjelaskan dan menentukan fungsi (terutama fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional) secara formal yang meliputi notasi, daerah asal,daerah hasil, dan ekspresi simbolik, sertasketsa grafiknya4.5Menganalisa karakteristik masing –masing grafik (titik potong dengan sumbu, titik puncak, asimtot) dan perubahan grafik fungsinya akibat transformasi 𝑓2(𝑥),1𝑓(𝑥), |f(x)| dsbC. Deskripsi Singkat MateriSalam jumpa melalui pembelajaran matematika dengan materi Menganalisa karakteristik masing –masing grafik (titik potong dengan sumbu, titik puncak, asimtot) dan perubahan grafik fungsinya akibat transformasi𝑓2(𝑥), 1𝑥, |f(x)|, dsb.Modul ini disusun sebagai satu alternatif sumber bahan ajar siswa untuk memahami materi fungsidi kelas X. Melalui modul ini Kaliandiajak untuk memahami konsep Fungsi Linear, Fungsi Kuadrat, Fungsi Rasional dan menyelesaikan masalah terkait fungsi. Modul ini terdiri atas 2bagian proses. Kalianbisa mempelajari modul ini dengan tahapan berikut:Pembelajaran 1 akan membahas tentang : Konsep Relasi, Fungsi dan Sifat-sifat Fungsidan Operasi Aljabar Fungsi Pembelajaran 2 akan membahas tentang:Fungsi Linear, Fungsi Kuadratdan fungsi Pecah (Fungsi Rasional)D. Petunjuk Penggunaan ModulSupaya kalianberhasil mencapai kompetensi dalam mempelajari modul ini maka ikuti petunjuk-petunjuk berikut:a.Petunjuk Umum:1)Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan peta kedudukan modul ini akan menuntun Kaliandalam mempelajari modul ini dan modul yanglain.2)Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materiberikutnya.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN63)Pahamilah contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihanyang ada. Jika dalam mengerjakan soal Kalianmenemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yangterkait.4)Kerjakan soal evaluasi dengan cermat. Jika Kalianmenemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yangterkait.5)Jika Kalianmempunyai kesulitan yang tidak dapat Kalianselesaikan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Kalianjuga akan mendapat pengetahuantambahan.b.Petunjuk Khususa.Dalam kegiatan Pembelajaran Kalianakan mempelajari bagaimana memahami konsep dan menyelesaikan masalah fungsi dan grafik fungsib.Perhatikan gambar gambar dan uraian dengan seksama agar dapat memahami, menentukan dan menggeneralisasikan masalah fungsiserta mampu menerapkan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hal tersebut. c.Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Kerjakanlah soal uji kompetensi dengan cermat agar Kalianbisa lebih paham dan terampil.E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Relasi, fungsi, Sifat-sifat Fungsidan Operasi Aljabar pada FungsiKedua : Fungsi Linear, Fungsi Kuadratdan Fungsi Pecah (Fungsi Rasional)
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1RELASI , FUNGSI DAN FUNGSI LINIER A.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkanpeserta didik mengenal konsep relasi, fungsi dan fungsi linear serta mampu menyelesaiakan masalah yang berkatian dengan fungsi linear.B.Uraian MateriPernahkah Kalianmendatangi suatu tempat, seperti mall dan melihat tarip parkir sebagai berikut: parkir untuk mobil, satu jam pertama Rp. 4000,00 dan untuk jam berikutnya Rp. 3000,00sehinga seorang yang memarkir mobilnya selama 3 jam harus membayar biaya parkirnya Rp. 10.000,00?Proses perhitungan parkir tersebut merupakan salah satu aplikasi fungsi dalam kehidupan sehari-hari. Gambar 1.1 Parkir Mobil Vertikal.Sumber: https://pixabay.com/id/photos/autos-teknologi-vw-214033/Contoh lain penerapan fungsi adalah jarak dan kecepatan. Setiaporang yang berjalan untuk berpindah tempat dari tempat yang satu ke tempatyang lain tentu saja memiliki kecepatan. Saat berjalan, seseorang bisamempercepat, memperlambat, bahkan berjalan dengan kecepatan tetap.Dalam fungsi, kecepatan yang dipakai yaitu pada saat kecepatan tetap(konstan). Saat seseorang mulai berjalan, kemungkinan kecepatannya akandipercepat atau diperlambat. Di lain pihak, tentu saja ada waktu di saatkecepatan mulai konstan. Kecepatan konstan itulah yang berlaku dalam suatufungsi. Dengan demikian, jarak yang ditempuh pejalan tersebut yangmerupakan suatu fungsi.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8Contoh lain misalkan, seseorang yang akan membuat suatu area penempatan hewanpeliharaan (kuda, kambing, atau ayam) sehingga membentuk suatu area yang paling luas dengan penggunaan batasan pagar yang tersedia, maka hal ini dapat menggunakan konsep yang ada pada cakupan materi fungsi kuadarat. Begitujuga permasalahan yang berkaitandengan proyektil, yakni objek apa pun yang dilemparkan, ditembak, ataudijatuhkan, dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan fungsi kuadrat. Seperti menentukan puncak tertinggi dari benda yang kita lempar. Demikianjuga masalah menentukan kecepatan awal peluru pada olah raga tolak peluru.Gambar 1.2 Orang BerjalanGambar 1.3 Tolak Peluru.Konsep Relasi dan fungsi.Konsep “fungsi” merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang matematika. Pengertian fungsi dalam matematika berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari. Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan merupakan hal yang istimewa dari suatu relasi antara dua himpunan.Untuk memahami konsep fungsi, coba Kalianperhatikan ilustrasi berikut.Sejak tahun 2006, melalui Undang-undang nomor 23 tahun 2006 tentang Administrasi Kependudukan, pemerintah mewajibkan semua warga Negara Indonesia memiliki Nomor Induk Kependudukan (NIK) yang tidak sama dengan orang lain. Hubungan NIK dengan individu seseorangmerupakan fungsi pemetaan yang informasi kependudukan orang yang bersangkutan. Program NIK berkaitan dengan e-KTP. Dengan e-KTP diharapkan seseorang tidak lagi berpeluang memiliki lebih dari satu KTP karena telah menggunakan sistem basis data terpadu yang menghimpun data penduduk dari seluruh Indonesia.Seperti juga NIK, setiap orang dari Kalianpasti punya nomor sepatu, nomor celana atau nomor baju masing-masing.Misalnya ukuran sepatu Ardi adalah 39, Dani adalah 40, Aqil adalah 42, Rano adalah 40 Dian adalah 34, Rani adalah 35 dan Dewi 33. Setiaporang memiliki ukuran unik (tunggal) dan beberapa orang bisa memiliki ukuran sepatu yangsama, misalnya Dani dan Rano. Tetapi, tidak ada orang yang memiliki
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Nomor SepatuNama Pemakai Sepatuukuran sepatu lebih darisatu. Kita menyatakan hubungan atau relasi ini sebagai fungsi dan dapat digambarkan padadiagram panah berikut.A BGambar 1.4 Relasi nomor sepatuHubungan tersebut dapat juga dituliskan dalam bentuk pasangan berurut: (Ardi, 39), (Dani, 40), (Aqil, 42), (Rano, 40), (Dian, 34), (Rani, 35), (Dewi, 33).Hubungan antara Ardi dengan angka 39 adalah nomor sepatu yang digunakan. Begitu juga hubungan Dani, Aqil, dan nama-nama lain yang ada pada himpunan A dengan angka-angka yang ada pada himpunan B dari gambar diagram panah di atas hubungan nomor sepatu yang digunakan. Jadi dua himpunan di atas dihubungkan oleh aturan nomor sepatu dan ditKaliani dengan garis panah yang menghubungkan anggota kedua himpunan.Aturan yang menghubungkan kelompok namadengan kelompok nomor sepatu padaGambar 1.4 disebut relasi antara kelompok nama pada himpunan A dengan nomor sepatu pada himpunan B, relasinya adalah‘nomor sepatu yang digunakan’. Relasi yang disajikan pada Gambar 1.4di atas ditKaliani dengansebuah garis panah dari kelompok namamenuju kelompok nomor sepatu, relasiseperti ini biasa disebut relasi yang dinyatakan dengan diagram panah. Selain dengandiagram panah. Relasi dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut dandengan menggunakan diagram kartesius seperti berikut.424039353433DewiDianRaniArdiDaniRano AqilGambar 1.5 Deskripsi Pasangan Orang dan Nomor SepatuUntuk lebih memahami masalah relasi, coba Kalianperhatikan contoh berikut:ArdiDaniAqilRanoDianRaniDewi333435394042
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Cabang Olah RagaKelompok siswaContoh 1.1Dalam rangka Pekan Olah Raga Pelajar tingkat provinsi, SMA XYZ mengirimkan beberapa orang siswanya untuk mengikut seleksi tingkat kabupaten. Dari 9 cabang yang akan dilombakan, yaitu Bola Basket, Bola Voli, Bola Kaki, Futsal, Badminton, Tenis Lapangan, Tenis Meja dan Catur, SMA XYZ meloloskan 6siswanya untuk mewakilitim kabupaten dalam 6 cabang yang dilombakan, yaitu Eko untuk cabang Bola Basket, Fachri untuk bola kaki dan futsal, Bianca dan Ratna untuk bola voli, Jarwo untuk Badminton, dan Awi untuk tenis meja.Pak Alam sebagai guru olah raga yang membimbing siswa ikut seleksi akan membuat laporan kepada kepala sekolah dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurut dan diagram kartesius. Bagaimana bentuk laporan yang akan dibuat pak Alam?Alternatif Penyelesaian:•Pasangan BerurutHimpunan pasangan berurut: {(Eko, Basket), (Fachri, B. Kaki), (Fachri, Futsal), (Bianca, B. Voli), (Ratna, B. Voli), (Jarwo, Badminton), (Awi, T. Meja)•Diagram panah.Kelompok Siswa Kelompok Cabang Olah RagaGambar 1.6•Diagram KartesiusBadmintonT. MejaT. LapanganCaturFutsal B.KakiVoli Eko Fachri Bianca Ratna Jarwo AwiEkoFachriBiancaRatnaJarwoAwiB. BasketB. VoliB. KakiFutsalCaturT. LapanganT. MejaBadminton
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Dari paparan dan contoh di atas, kita dapat menemukan definisi dari relasi.Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi dari A ke B adalah aturan pengaitan/pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota BPerhatikan Contoh 1.1, terlihat bahwa Kalianpanah mengarah dari anggota himpunan siswa yang terpilih seleksi ke anggota Cabang Olah Raga. Himpunan yang anggotanya akan dipasangkan pada Contoh 1.1., yaitu himpunan siswa disebut daerah asal (domain). Himpunan Cabang Olah raga yang akan diikuti disebut daerah kawan (kodomain). Himpunan yang anggotanya adalah anggota daerah kawan yang memiliki pasangan di daerah asal disebut daerah hasil (range). Himpunan daerah asal (Domain) pada contoh 1.1 adalah {Eko, Fachri, Bianca, Ratna, Jarwo, Awi}. Himpunan daerah kawan(Kodomain) adalah{B. basket, B. Voli, B. Kaki, Futsal, Catur, Tenis Lapangan, tenis Meja, Badminton}. Daerah hasilnya (Range) adalah {B. basket, B. Voli, B. Kaki, Futsal, tenis Meja, Badminton}.Contoh 1.2 Sebuah pusat perbelanjaan menerapkan tarip parkir mobil pengunjung dalam tabel berikut:No.Lama Waktu (t)(Dalam satuan jam)Biaya Parkir (P)(Dalam satuan ribu rupiah)10 < t ≤2422 < t ≤4634 < t ≤6846 < t ≤81058 < t ≤1012610 < t ≤1214712 < t ≤2416Tabel 1.1 Tarip ParkirGambarkanlah biaya parkir di atas dalam bentuk grafik kartesius. Jika seseorang memarkirkan mobilnya dari pukul 07.30 WIB sampai dengan pukul 10.00 WIB, berapa biaya parkir yang harus dibayar?Alternatif Penyelesaian:Tarif parkir berdasarkan Tabel 1.1 di atas, jika digambarkan dalam grafik kartesius ditunjukkan sebagai berikut.Definisi 1.1
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN121086121416Waktu(Jam)Biaiya (P)(Ribu Rupiah): Tidak memenuhi: Memenuhi40 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24Gambar 1.8 Biaya Parkir Per Jam Jika lama waktu parkir dari pukul 07.30 WIB sampai pukul 10.00 WIB, maka seseorang itu parkir selama 2 jam 30 menit dan membayar parkir sebesar Rp 6.000,-. Hubungan antara lama waktu parkir dengan biaya parkir pada Contoh 1.2 di atas merupakan sebuah contoh relasi.Dari relasi antara waktu parkir dengan biaya pada Contoh 1.2 di atas, dinyatakan hal-hal berikut.Daerah asal adalah {t : 0 < t ≤ 24}Daerah kawanadalah: {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Daerah hasil adalah: {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Berdasarkan contoh-contoh di atas, ditemukan definisi daerah asal, daerah kawan,dan daerah hasil sebagai berikut.Definisi 1.2Definisi 1.3Daerah kawan atau biasa disebut kodomain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana anggota domain memiliki pasangan sesuai relasi yang didefinisikan.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13Sebuah relasi sering dinyatakan dalam bentuk persamaan dalam variabel x dan y, sebagai contoh: y = 2xdan y= x2. Nilai x merupakan domain relasi dan nilai y merupakan daerah hasil relasi. Pada persamaan y = 2x, jika domain x dibatasi oleh 0 < x ≤ 5, untuk x bilangan riil, maka daerah hasilnya adalah 0 < y ≤ 10.Akan tetapi, tidak semua relasi dapat dinyatakan dalambentuk persamaan. Perhatikangambar berikut.Gambar 1.9 Jenis-jenis RelasiBerdasarkan Gambar 1.9, dapat diketahui bahwa:(i) Seluruh titik pada x > 0 dan y > 0 merupakan contoh relasi.(ii) Kesepuluh titik-titik pada Gambar 1.9 (ii) merupakan contoh relasiFungsiSetelah Kalianmemahami masalah relasi, sekarang Kita kembangkan pembahasan dengan mempelajari fungsi. Kalianakan mempelajari menentukan notasi fungsi, daerah asal, daerah hasil, ekspresisimbolik fungsi, serta skesta grafik fungsi linear, fungsi kuadrat dan fungsi rasional.Kalianperhatikan gambar diagram panah berikut.(a)(b)(c)Definisi 1.4Daerah hasil atau biasa disebut range suatu relasi adalah sebuah himpunan bagian dari daerah kawan (kodomain) yang anggotanya adalah pasangan anggota domain yang memenuhi relasi yang didefinisikan..
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14(d)(e)(f)Pada gambar1.10(a)•Semua anggota himpunan P memiliki pasangan anggota himpunan Q•Semua anggota himpunan P memiliki pasangan tunggal dengan anggotahimpunan Q•Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P.Pada gambar 1.10 (b)•Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.•Ada anggota himpunan P yang berpasangan dengan dua buah anggota himpunan Q.•Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggotahimpunan P.Pada gambar 1.10 (c)•Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.•Ada anggota himpunan P yang berpasangan dengan dua anggota himpunan Q.•Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan PPada gambar 1.10 (d)•Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.•Semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggotahimpunan Q.•Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggotahimpunan P.Pada gambar 1.10 (e)•Ada anggota himpunan P yang tidak memiliki pasangan dengan anggotahimpunan Q.•Ada anggota himpunan P yang berpasangan dengan semua anggota himpunan Q.•Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P.Pada gambar 1.10 (f)•Ada anggota himpunan P yang tidak memiliki pasangan dengan anggotahimpunan Q.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15•Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggotahimpunan P.Relasi yang ditunjukkan diagram panah pada gambar 1.10(a),(b)dan (c)merupakan contoh fungsi. Syarat sebuah relasi menjadi fungsi adalah sebagai berikut.•Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.•Semua anggota himpunan P memiliki pasangan tunggal dengan anggotahimpunan Q.Berdasarkan contoh-contoh di atas kita temukan definisi fungsi sebagai berikut.Notasi FungsiJika f suatu fungsi yang memetakan/memasangkan setiap x anggota himpunan A (X ∈A) dengan tepat satu y anggota himpunan B, maka dapat ditulis:f: x → y (dibaca: f memetakan x ke y)y disebut bayangan x oleh fungsi f dan dinyatakan dengan f (x).Jadi, f(x) adalah nilai y untuk sebuah nilai x yang diberikan, sehingga dapat ditulis y= f(x) yang berarti bahwa y adalah fungsi dari x. Dalam hal tersebut, nilai dari y bergantung pada nilai x, maka dapat dikatakan bahwa y adalah fungsi dari xContoh 1.3:Diketahi f : A →B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x –1.Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 x 4. x R}a.Tentukanf (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).b.Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x –1 dalam bidang kartesius.c.Tentukan daerah hasil dari fungsi f.Alternatif Penyelesaian:a.f (x) = 2x –1, maka :f (0) = 2.0 –1 = -1f (1) = 2.1 –1 = 1f (2) = 2.2 –1 = 3f(3) = 2.3 –1 = 5f (4) = 2.1 –1 = 7Definisi 1.5Misalkan A dan B himpunan.Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B..
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN16b.Grafik fungsi y : f (x) = 2x –18y = f (x) = 2x –1 75310 1 2 3 4 5-1 Daerahasalc.Daerah hasil fungsi f →Rf= {y | -1 y 7, y R}Contoh 1.4Perhatikan gambar berikut, manakah yang menyatakan suatu fungsi dari R→R, x, y∈R?(a)(b)Gambar 1.11Alternatif Penyelesaian:Pada gambar 1.11 (a) tampak bahwa untuk x = 3 dihubungkan dengan y ∈R, misalnya 3 dengan 0, 3 dengan 1, 3 dengan 2, dan seterusnya. xtidak tepat dipasangkan dengan satu anggota y, akibatnya, relasi {(x,y)| x = 3; x, y∈R} bukan merupakan fungsi.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN17Pada gambar 1.11 (b) tampak bahwa setiap unsur pada domain dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada range. Misalnya, 4 dihubungkan dengan 2; –2 dihubungkan dengan –1; 0 dihubungkan dengan 0; 2 dengan 1; dan seterusnya. Dengan demikian, relasi {(x,y)| y= 12𝑥; x, y∈R} merupakan fungsi.Grafik pada Gambar 1.11(b), menyatakan fungsi.Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan riilyang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan riil. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).Contoh 1.5:Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut:a.f (x) = 1x4+b.g (x) = 2x4−Alternatif Penyelesaian:a.f (x) = 1x4+, supaya f (x) bernilai riilmaka x + 1 0 atau x -1Jadi Df : {x | x R, dan x -1}b.g (x) = 2x4−, supaya g (x) bernilai riil maka :4 –x20x2–4 0(x-2) (x+2) 0 → -2 x 2Jadi Dg = {x | -2 x 2, x R} Sifat-sifat Fungsi :a.Fungsi SurjektifSuatu fungsi f : A →B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf= B.Contoh dalam diagram panahfA : {1,2,3,4} , B : {a,b,c}Fungsi f : A →B dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}. Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf: {a,b,c} dan Rf= B maka fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada. Fungsi f : A →B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau RfB.1 •2 •3 •4 ••a•b •c AB
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN181 2 3 abcABContoh :A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c}fungsif : A →B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}.Tampak bahwa daerah hasil fungsif : Rf: {a,b} dan RfB, maka fungsi f adalah fungsi into atau fungsi ke dalam. fb.Fungsi InjektifFungsi f : a →B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2A dan a1a2berlaku f (a1) f (a2).Contoh :A : {1,2,3} , B : {a,b,c}f : A →B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,c)}.Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di BFungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu. fc.Fungsi BijektifFungsi f : A →B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif.Contoh :A : {1,2,3} , B : {a,b,c}Fungsif : A →B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}.Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu. 1 •2 •3 •4 ••a•b•cAB
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN19Operasi Aljabar pada FungsiJenis operasi aljabar sering dijumpai dalam himpunan bilangan riil, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan. Operasi aljabar pada bilangan riildapat diterapkan pada aljabar fungsi, yaitu jika diketahui fungsi f(x) dan g (x), dan n bilangan rasional.Untuk memahami operasi aljabar pada fungsi, coba Kalianamati masalah berikut.Seorang pengrajin miniatur menerima pesanan pembuatan miniatur dan asesoris tempat penyimpanannya. Harga untuk membuat miniatur saja (F1) biayanya Rp.75.000,-per buah mengikuti fungsi F1(x) = 75.000x + 5000. Jika akan membuat lengkap dengan asesoris tempat penyimpanannya, biaya tambahannya (F2) Rp.25.000,-perbuah mengikuti fungsi F2(x) = 25.000x + 1000, dengan x banyaknya miniatur yang dibuat. a.Berapa biaya untuk membuat 10 buah miniature lengkap dengan asesoris penyimpanannya?b.Tentukan selisih biaya pembuatan miniature dengan asesoris penyimpanannya jika banyaknya miniature yang dibuat 5 buah.Alternatif Penyelesaian:Fungsi biaya pembuatan miniature: F1(x) = 75.000x + 5.000Fungsi biaya pembuatan asesoris F2(x) = 25.000x + 1000.a.Biaya untuk membuat miniature lengkap dengan asesorisnya adalah:F1(x) + F2(x) = (75.000x + 5.000) + (25.000X + 1000)= 100.000x + 6.000Total biaya untuk membuat 10 buah miniature lengkap dengan asesorisnya adalah: F1 (10) + F2 (10) = 100.000.10 + 6.000 = 1.006.000.Jadi total biaya untuk membuat 10 miniatur lengkap dengan asesorisnya adalah Rp. 1.006.000,-Selisih biaya pembuatan miniature dengan asesorisnya adalah:F1(x) -F2(x) = (75.000x + 5.000) -(25.000X + 1000)= 50.000x + 4.000Selisih biaya pembuatan 5 buah miniature dengan asesorisnya adalah:F1 (5) -F2 (5) = 50.000.5 + 4 = 246.000Jadi selisih biaya pembuatan 5 buah miniatur dengan asesorisnya adalah: Rp. 246.000,-
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN20Operasi aljabar pada fungsi didefinisikan sebagai berikutContoh 1.7 Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumusf (x) = 2x –10 dan g (x) = 1x2−Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asalnya.a.(f + g) (x)b.(f –g) (x)c.(f x g) (x) d.gf(x) Alternatif Penyelesaian:Daerah asal fungsif(x) = 2x -10 adalah Df : {x | x R}Daerah asal fungsi g(x) = 1x2−adalah Dg : {x | x 12, x R}a.Jumlah fungsi f (x) dan g (x) adalah(f + g) (x) = f (x) + g (x) = 2x –10 + 1x2−Daerah asal fungsi(f + g) (x) adalah D f + g= Df∩Dg= {x | x R} ∩{x | x 12, x R} = {x | x 12, x R}b.Selisih fungsi f (x) dan g (x) adalah(f –g) (x) = f (x) –g (x) = 2x –10 -1x2−Definisi 1.6Jika f suatu fungsi dengan daerah asal 𝑫𝒇dan g suatu fungsi dengan daerah asal 𝑫𝒈, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut.1.Jumlah f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal Df+g= Df∩Dg.2.Selisih f dan g ditulis f –g didefinisikan sebagai (f –g)(x) = f(x) –g(x) dengan daerah asal Df –g= Df∩Dg.3.Perkalianf dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai (f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan daerah asal Df × g= Df∩Dg.4.Pembagian fdan gditulis 𝒇𝒈didefinisikan sebagai ቀ𝒇𝒈ቁ(𝒙)=𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)dengan daerah asal 𝑫𝒇𝒈= Df∩Dg..
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21Daerah asal fungsi(f -g) (x) adalah D f -g= Df∩Dg= {x | x R} ∩{x | x 12, x R} = {x | x 12, x R}c.Perkalianfungsi f (x) dan g (x) adalah(f x g) (x) = f (x) x g (x) = (2x –10) (1x2−) = 2x 1x2−-10 1x2−Daerah asal fungsi (f x g) (x) adalah D f x g= Df∩Dg= {x | x R} ∩{x | x 12, x R} = {x | x 12, x R}d.Pembagian fungsif (x) dengan g (x) adalah(𝑓𝑔)(x) = ()()xgxf= 1x210x2−−Daerah asalfungsi(𝑓𝑔)(x) adalah 𝐷𝑓𝑔= Df∩Dgdan g(x) ≠0= {x | x R} ∩{x | x 12, x R dan√2𝑥−1>0} = {x | x 12, x R dan x >12}= {x | x >12, x R }B.Rangkuman1.Apabila A dan B himpunan, maka hubungan atau pemasangan anggota A dengan anggota B disebut relasi. Apabila antara anggota A dan anggota B tidak ada hubungan, maka himpunan A dan B tidak berelasi.2.Fungsiadalah relasi yang memetakan, memasangkan atau mengawankan setiap anggota di himpunan A dengan tepat satu anggota di himpunan B.3.Sebuah fungsi f dari himpunan A keB, dapat dinyatakan dalam bentuk diagram, pasangan terurut atau dengan notasi fungsi f : A → B atau dengan rumus y = f(x), dimana x ∈A dan y∈B. Himpunan A disebut pula dengan daerah asal (domain) dan B disebut daerah kawan(kodomain). Sedangkan daerah hasil fungsi (range) merupakan himpunan bagian dari B4.Misalkan fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B dengan darah hasil R. Fungsidisebut fungsi surjektif(onto) apabila daerah hasil sama dengan daerah kawan (R = B),disebut fungsi injektif(into) apabila untuk setiap a ≠ b, makaf(a) ≠ f(b) dan disebut fungsibijektif (satu ke satu) apabila fungsi tersebut injektif dan sekaligus surjektif5.Operasi Aljabar pada fungsi didefinisikan:a.Jumlah f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal Df+g= Df∩Dg.b.Selisih f dan g ditulis f –g didefinisikan sebagai (f –g)(x) = f(x) –g(x) dengan daerah asal Df –g= Df∩Dg.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22c.Perkalianf dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai (f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan daerah asal Df × g= Df∩Dg.d.Pembagian fdan gditulis 𝑓𝑔didefinisikan sebagai ቀ𝑓𝑔ቁ(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)dengan daerah asal 𝐷𝑓𝑔= Df∩Dg.C.Latihan Soal 1.Manakah dari diagram berikut yang mendefinisikan fungsi?2.Diketahui fungsi f : x → f (x) didefinisikan oleh f (x) = x3pada interval –1≤𝑥≤2a. Tentukan f (-1), f (0), f (1), dan f (2)!b. Tentukan domain dan range!3.Diketahui fungsi f : R →R dan f(x) = x2+ 2x -3.a.Hitunglah f(–4), f(–3), f(-2), f(-1), f(0),dan f(2)b.Gambarkan grafik fungsi tersebut.c.Jika daerah asal fungsi tersebut adalah Df = {x|–4≤ x ≤ 2, x∈R}, tentukan daerah hasilnya.4.Tentukan mana yang merupakan fungsi surjektif, injektif, atau bijektif dari fungsi 𝑓∶𝑅→𝐴yang ditentukan sebagai berikut.a.f : x → 3x -1, 𝑥∈𝑅b.f : x → x2-2, 𝑥∈𝑅5.Diketahui fungsi f(x) = √𝑥+1dan g(x) = √16−𝑥2Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asalnya.a.(f + g) (x)b.(f –g) (x)c.(f x g) (x) d.gf(x)
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN23Pembahasan Latihan Soal NoPembahasanPedoman Skor1.Diagram a), d) dan f) merupakan fungsi karena setiap anggota himpunan daerah asal memiliki tepat satu pasangan anggota himpunan daerah kawan. Untuk diagram b) dan e) ada anggota himpunan daerah asal yang tidak memiliki pasangan anggota himpunan daerah kawan serta untuk diagram c) ada anggota himpunan daerah asal memiliki lebih dari satu pasangan anggota daerah kawan sehingga b), c) dan e) bukan fungsi.52.f (x) = x3pada interval –1≤𝑥≤2a.f(-1) = (-1)3= -1f(0) = 03= 0f(1) = 13= 1f(2) = 23= 8b.Daerah asal: Df= {x|–1≤𝑥≤2, x ∈𝑅}Daerah hasil: Rf={y| -1 ≤𝑦≤8, y ∈𝑅}323.f(x) = x2+ 2x -3.a.Hitunglah f(–4), f(–3), f(-2), f(-1), f(0), dan f(2)f(–4) = (-4)2+ 2(-4) –3 = 5f(–3) = (-3)2+ 2(-3) –3 = 0f(-2) = (-2)2+ 2(-2) –3 = -3f(-1) = (-1)2+ 2(-1) –3 = -4f(0) = (0)2+ 2(0) –3 = -3f(1) = (1)2+ 2(1) –3 = 0f(2) = (2)2+ 2(2) –3 = 5b.c.Df= {x||–4 ≤ x ≤ 2, x∈R}Rf= {y||–4 ≤ y ≤ 5, y∈R}3,53,534.a. Grafik fungsi y = f(x) = 3x –1, x∈R seperti tampak pada gambar di bawah:
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN24NoPembahasanPedoman SkorAmati untuk setiap domain x1dan x2(x1≠ x2) maka f(x1) ≠ f(x2). Jadi, fungsi y = f(x) = 3x-1 merupakan fungsi injektif. Oleh karena range Rfsama dengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x)=3x –1, x∈R merupakan fungsi surjektif.Dengan demikian, fungsi y = f(x) = 3x -1, x∈R adalah fungsi bijektif.b. Grafik fungsi y = f(x) = x2–2, x∈R seperti tampak pada gambar di bawah:ada gambar tampak terdapat terdapat nilai-nilai x1dan x2∈Dfdengan x1≠ x2ada f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi y = f(x) = x2–2, x∈Rbukan fungsi injektif. 555.Fungsi 𝑓akan bernilai riil jika 𝑥+ 1 ≥ 0 atau 𝑥≥ -1.Daerah asal fungsi 𝑓adalah 𝐷𝑓= {𝑥|𝑥≥ -1; 𝑥∈𝑅}.Fungsi 𝑔akan bernilai riil jika 16 -𝑥2 ≥ 0.16 -𝑥2≥ 0𝑥2-16 ≤ 010
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25NoPembahasanPedoman Skor(𝑥–4)( 𝑥+ 4) ≤ 0 → -4 ≤ 𝑥≤ 4Daerah asal fungsi 𝑔adalah 𝐷𝑔= {𝑥| -4 ≤ 𝑥≤ 4; 𝑥∈𝑅}.a.(𝑓+ 𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥)+ 𝑔(𝑥)= √𝑥+1+ √16−𝑥2Daerah asal fungsi (𝑓+ 𝑔)(𝑥) adalah 𝐷𝑓+𝑔= {𝑥| -1 ≤ 𝑥≤ 4; 𝑥∈𝑅}b.(𝑓–𝑔)(𝑥)= 𝑓(𝑥)-𝑔(𝑥)= √𝑥+1-√16−𝑥2Daerah asal fungsi (𝑓-𝑔)(𝑥) adalah 𝐷𝑓-𝑔= {𝑥| -1 ≤ 𝑥≤ 4; 𝑥∈𝑅}c.(𝑓x𝑔)(𝑥)= (𝑥)x 𝑔(𝑥)= √𝑥+1-√16−𝑥2= √(𝑥+1)(16−𝑥2)= √16+16𝑥−𝑥2−𝑥3Daerah asal fungsi (𝑓x 𝑔)(𝑥) adalah 𝐷𝑓x 𝑔= {𝑥| -1 ≤ 𝑥≤ 4; 𝑥∈𝑅}b.gf(x)=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=√𝑥+1√16−𝑥2=√𝑥+116−𝑥2Daerah asal fungsi 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)adalah 𝐷𝑓𝑔= Df∩Dgdan g(x) ≠0= {𝑥| -1 ≤ 𝑥< 4; 𝑥∈𝑅}Jumlah Skor40Untuk mengetahui tingkat penguasaan Kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalianterhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Rumus Tingkat penguasaan=𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝑥100%Kriteria 90% –100% = baik sekali 80% –89% = baik 70% –79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaan Kaliancukup atau kurang, maka kalianharus mengulang kembali seluruh pembelajaran.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26D.Penilaian DiriBerilah tanda Vpada kolom “Ya” jika Kalianmampu dan “Tidak” jika belum mampu memahami kemampuan berikut:No.Kemampuan DiriYaTidak1.Saya sudah memahami tentang konsep relasi dan fungsi2.Saya sudah dapat membedekan antara relasi dan fungsi3.Saya sudah dapat menentukan Domain, Kodomain dan range4.Saya sudah memahami sifat-sifat fungsi5.Saya sudah memahami operasi aljabar pada fungsi
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27KEGIATAN PEMBELAJARAN 2FUNGSI LINIER, FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL A.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 2ini diharapkan:1.Memahami bentuk umum fungsi linear dan menggambar grafiknya2.Memahami bentuk umum fungsi kuadrat dan menggambar grafiknya3.Memahami bentuk umum fungsi rasional dan menggambar grafiknyaB.Uraian MateriPada pembelajaran kedua ini pembahasan akan kita fokuskan pada fungsi linear, fungsi kuadrat dan fungsi rasional.1.Fungsi LinearFungsi linear merupakan salah satu fungsi yang sederhana dalammatematika. Banyak aplikasi dari fungsi linear ini, seperti hubunganantara ketinggian pesawat dan suhu udara, hubungan penawaran denganketersediaan barang, serta hubungan antara jarak dan waktu tempuh. Dalam modulini, fungsi linear dinyatakan sebagai berikut.f(x) = mx + aDikatakan linear karena grafiknya berupa garis. Grafik dari fungsi ini dapat Kaliangambar dengan menentukan dua nilai c yang berbeda serta menentukan pasangan titik salah satunya dengan jalan membuat tabelnya.Contoh 2.1Tentukan rumus untuk fungsi linear f jika diberikan pasangan nilai seperti tabelberikut.Tabel 1.1.xf(x)-1-128Alternatif Penyelesaian:Karena f fungsi linear, dia dapat dinyatakan sebagai f(x) = mx + a. Oleh karena itu, Kalianakan memperoleh dua persamaan.(-1)=m.(-1)+a......(1)8 = m.2+ a..............(2)Jika persamaan (2) dikurangi dengan persamaan (1), akan akanperoleh persamaan9 = m. 3yang memberikan penyelesaian m = 3.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN28Substitusi nilai ini ke persamaan(2) maka diperoleh persamaan8 = 3.2 + a,yang memberikan penyelesaian a = 2. Jadi, rumus untuk f(x) sebagai berikutf(x) = 3x + 2.Variabel pada fungsi linear dan juga pada fungsi-fungsi lain tidak harus berupa simbol x, tetapi dapat berupa simbol yang lain, seperti t, z, dan w. Khusus untuk variabel t, variabel ini biasanya digunakan sebagai simbol dari waktu.Contoh 1.2Hubungan antara waktu dan jarak yang ditempuh suatu kendaraan merupakan fungsi linear g. Lalu, diberikan pasangan nilai seperti tabel berikut.Tabel 1.2.t (dalam menit)g(t)(dalam km)520010400Tentukan rumus hubungan waktu dan jarak tempuh kendaraan tersebut.Alternatif PenyelesaianSeperti pada Contoh 1.1, karena gfungsi linear, dia dapat dinyatakan sebagai g(t) = mt+ a. Oleh karena itu, di peroleh dua persamaan, yaitu:200 = m.5 + a400 = m.10 + aPeriksa bahwa penyelesaian bersama dari persamaan di atas adalah g(t) = 40t. Jadi, hubungan waktu dan jarak tempuh kendaraan adalah g(t) = 40t.Pada fungsi linear bentuk,jika f(x) dinyatakan sebagai y, yaitu: y = mx + a.Persamaan terakhir ini disebut sebagai persamaan garis.Contoh 2.3Tentukan persamaan garis melalui titik (1,1) dan (2,0). Tentukan grafiknya.Alternatif Penyelesaian:Persamaan garis sebagai y = mx + a. Kalianakan peroleh dua persamaan berikut.1 = m.1 +a0 = m.2 +a.Penyelesaian bersama dua persamaan tersebut adalah m = -1 dan a = 2. Jadi, persamaan garis yang diminta adalah y = -m + 2. Grafik persamaangaris diperoleh dengan menghubungkan titik-titik yang dilaluinya seperti gambar berikut ini.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN29Gambar 2.1Perhatikan grafik berikut.Gambar 2.2Pada gambar di atas, dapat dilihat berbagai kemiringan garis terhadap sumbu x. Kemiringan garis disebut sebagai gradien. Gradien merupakan kooefisiendari variabel m. Kaliantentunya bertanya bagaimana cara menentukan gradien garis? Jika kitaperhatikan bahwa gradien adalah garis yang dilihat relatif sumbu x, terutama untuk garis dengan persamaan y = 2 atau ditulis sebagai y = 0.x + 2, Maka dapat diduga bahwa gradien garis dapat ditentukan dengan perbandingan panjang segmen garis pada sumbu y dengan panjang segmen garis pada sumbu x dari dua titik tertentu. Sehinggajika kitamempunyai dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) gradien garis dapat dirumuskan sebagai berikut.m =𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1Lihat kembali padacontoh3, m = -1, diperoleh dari rumus gradien garis tersebut adalah: m =0−12−1=−1
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN30Untuk lebih jelas coba Kalianperhatikan grafik berikut:Gambar 2.3f(x) = mx + b → f(p) = m.p + bf(q) = m.q + b_______________ -f(p) –f(q) = m(p –q)f(p)−f(q)p−q=m=tanαDari jabaran di atas tampak bahwa gradien tersebut merupakan nilai perbandingan antara selisih komponen y dan x dari dua sebarang dua titik pada garis tersebut. Jika persamaan garis y = ax + b maka gradiennya adalah a dan melalui titik (0,b). Secara umum sebuah garis lurus (yang tidak sejajar atau berimpit dengan sumbu Y) persamaannya adalah y = mx + n, dengan m adalah gradien (koefisien arah) garis yang menunjukkan kemiringangaris. Garisnya condong ke kanan jika dan hanya jika m > 0 dan condong ke kiri jika dan hanya jika m < 0.Contoh 2.4Gambarlah suatugaris yang mempunyai gradien m = 3 dan titik potong dengan sumbu Y adalah -3.Alternatif Penyelesaian:Persamaan garis yang dimaksud adalahy = 3x -3.Untuk menggambarnya, Anda tentukan dua titik yang dilaluinya seperti berikut.x = 1 → y = 0, x = 2 → y= 3.Jadi, dua titik yang dilaluinya adalah (1,0) dan (2,3). Oleh karena itu, Kalianperoleh gambar seperti berikut ini.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN31Gambar 2.4Gradien/kemiringan garisdari garis tersebut dengan rumusadalah:m =𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1=3−02−1=3Sama dengan gradien yang diketahui, yaitu m = 3.Contoh 2.5Gambarlah suatu garis yang melalui titik (2,3) dan mempunyai gradien12.Alternatif penyelesaian:Misalnya, persamaangaris yang dimaksud adalah y = mx + a. Karena garis mempunyaigradien 12, maka persamaangaris menjadi y = 12x + a. Berikutnya garis melalui (2,3). Maka itu, Anda peroleh persamaan 3 = 122 + a ↔a = a.Jadi persamaangaris yang melalui titik (2, 3) dan gradient 12adalah y = 12x + 2Gambar garis seperti berikut ini.Gambar 2.5
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN32Contoh 2.6Diberikan persamaan linear 2x + 3y –2 = 0. Tentukan gradien, titik potong dengan sumbu ydan gambar grafiknya.Alternatif Penyelesaian:Ubah 2x + 3y –2 = 0 ke bentuk y = mx + a.2x + 3y –2 = 0↔3y = -2x + 2↔y = −23x + 23Jadi gradiennya m= −23Titik potong dengan sumbu Y: (0, 23)Gambar 2.6Dari contoh di atas, jika persamaan berbentuk AX + BY + C = 0, maka gradiennya adalah m = −𝐴𝐵dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0, −𝐶𝐴)Jika diketahui suatu persamaan garis, dapat ditentukangradien garis dan titik potong garis tersebut dengan sumbu y. Menentukan persamaan garis dengan gradien tertentu dan melalui satu titik tertentu. Misal garis yang akan kita tentukan persamaannya bergradien m dan melalui titik sembarang (x1, y1). Misalkan persamaan garisnya adalah y = mx + n. Garis ini melalui titik (x1, y1) berarti y1= mx1+ n atau n = y1 -mx1. Dengan mensubstitusikan n = y1-mx1ke y = mx + n, maka diperoleh y = mx + y1-mx1. Persamaan y = mx + y1-mx1dapat diubah menjadi y -y1= m(x -x1). Jadi persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah:y -y1= m(x -x1).
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN33Contoh 2.7.Tentukan persamaan garis yang bergradien -1 dan melalui titik (-2, 3).Alternatif Penyelesaian:Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalahy -y1= m(x -x1).Jadi persamaan garis bergradien -1 dan melalui titik (-2, 3) adalahy -3 = -1{x -(-2)} atau y -3 = -1{x + 2} atau y -3 = -1x -2 atau y = -x + 1.Menentukan persamaan garis yang melalui dua titik. Misalkan diberikan dua titk A(x1, y1) dan B(x2, y2). Garis yang melalui titk A(x1, y1) adalah y -y1= m (x -x1).Garis ini melalui titik B(x2, y2), berarti y2-y1= m (x2-x1) atau 𝑚=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1Subtitusikan 𝑚=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1ke y -y1= m (x -x1) sehingga diperoleh 𝒚−𝒚𝟏=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1(𝑥−𝑥1)Atau𝒚−𝒚𝟏𝒚𝟐−𝒚𝟏=𝑥−𝑥1𝑥2−𝑥1Jadi𝒚−𝒚𝟏𝒚𝟐−𝒚𝟏=𝑥−𝑥1𝑥2−𝑥1merupakan persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2).Contoh 2.8Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0, -3) dan (2, 5).Alternatif Penyelesaian:Persamaan garis yang titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah 𝒚−𝒚𝟏𝒚𝟐−𝒚𝟏=𝑥−𝑥1𝑥2−𝑥1Jadi persamaan garis yang melalui titik (0, -3) dan (2, 5) adalah 𝒚−(−𝟑)𝟓−(−𝟑)= 𝑥−02−0𝒚+𝟑𝟖= 𝑥2↔(𝑦+3).2=8.𝑥↔2y + 6 = 8x↔2𝑦−8𝑥+6=0Jadi persamaan garis yang melalui titik (0, -3) dan (2, 5) adalah 2𝑦−8𝑥+6=0atau 2y = 8x –6 ↔y = 4x –6
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN342.Fungsi Kuadrat.Sekarang kita bersama-samaakan mempelajari bentuklain dari suatu fungsi yang dikenal sebagai fungsi kuadrat. Fungsi f: R → R yang didefinisikan sebagai f: x → ax2+ bx + c dengan a, b, dan c anggotabilangan riildan a ≠0 disebut fungsi berderajatdua atau fungsi kuadrat. Persamaan umum fungsi kuadrat f: x → ax2+ bx + c adalah:y = ax2+ bx + cdan grafik fungsinya disebutkurva parabola.Ingatkembali cara menentukan penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax2+ bx + c = 0 dengan a ≠0 seperti dengan menggunakan rumus:𝑥1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎Penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat disebut akar dari persamaan kuadrat.Jika suatufungsi kuadrat yang diketahui akar-akarnyamisalkan x1dan x2, maka fungsi kuadrattersebutdapat dinyatakan dalam bentuk: f(x) = a(x –x1)(x –x2)Untuk menggambar suatu fungsi kuadrat, ikuti prosedur tiga langkah sederhana berikut.1.Tentukan titik potong kurva dengan sumbu x dan sumbu y2.Tentukan titik puncak3.Letakantitik-titik tersebut pada bidangkoordinatCartesius4.Dapat menggunakan beberapa titik uji.5.Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva. Contoh 2.9Dengan cara membuat tabel, gambarlah grafik fungsi kuadraty =x2-4x +3Alternatif Penyelesaian:Dengan menggunakan prosedur tiga langkah di atas, Kalianmemperoleh tabel berikut ini.1.Titik potong kurva dengan sumbu x, diperoleh untuk nilai y = 0, makay = 0 maka 0 =x2-4x +3= (x-3)(x-1) atau x = 3 dan x = 1. Maka titik potong sumbu x adalah (1, 0) dan (3, 0).2.Titik potong kurva dengan sumbu y, diperoleh untuk nilai x = 0, maka y = 02-4.0 + 3. Maka titik potong sumbu y adalah (0, 3).3.Sumbu simetri fungsi kuadrat adalah 𝑥𝑠𝑏=−𝑏2𝑎=−(−𝑏)2(1)=42=2. Nilai optimum untuk 𝑥𝑠𝑏=2maka y =(2)2-4.2+3 = 4-8+3 = -1Tabel3
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN35Berdasarkan dari data di atas, maka diperoleh grafik kurva sebagai berikut:Gambar 2.7Perhatikan secara seksama gambar Contoh 2.7. Apa yang dapat kitasimpulkan?Beberapa hal yang dapat disimpulkan tentang grafik fungsi kuadrat y = x2-4x + 3 sebagai berikut.a.Memotong sumbu y di titik (0,3).b.Memotong sumbu x di titik (1,0) dan (3,0).c.Simetri terhadap garis x = 2.d.Mempunyai titik puncak (2,-1).e.Mempunyai nilai ekstrem -1.Dari kesimpulan di atas, maka bisa diperoleh hal sebagai berikut:a.Menggambar grafik fungsi kuadrat dengan cara menentukan titik potong dengan sumbu y, titik potong dengan sumbu x, dan titik puncak.Penentuan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu y dilakukan melaluisubstitusi nilai x = 0 ke fungsi kuadrat. Lalu, Anda akan memperoleh berikut ini.y = x2–4x + 3 y = 02 –4.0 + 3y = 3b.Titikpotong grafik fungsi kuadrat y = x2-4x + 3 dengan sumbu y adalah titik (0,3). Nilai 3 merupakan nilai c pada fungsi kuadrat bentuk umum y = ax2+ bx + c. Jadi, titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu y adalah titik (0,c).c.Penentuan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x dilakukan melalui substitusi nilai y = 0 ke fungsi kuadrat, maka akan memperoleh: y = x2-4x + 3 0 = x2 –4x + 3 (x –1)(x –3) = 0x = 1 atau x = 3.Jadi, titik potong grafik fungsi kuadrat y = x2-4x + 3 dengan sumbu x adalah titik-titik (1,0) dan (3,0).
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN36c.Garis simetri grafik fungsi kuadrat y = x2-4x + 3 adalah x = 2. Nilaiini dapat Anda peroleh dari2 = −−42.1=−𝑏2𝑎Jadi garis x = −𝑏2𝑎merupakan garis simetri dari fungsi kuadrat y = x2-4x + 3.d.Titik puncak grafik fungsi kuadrat y = x2–4x + 3 adalah titik (2, –1). Nilai –1 disebut sebagai nilai ekstrem. Nilai ini dapat Anda peroleh dengan menyubstitusikan nilai x = 2 ke persamaan berikut.y = x2–4x + 3= 22–4.2 + 3 = –1Nilai ekstrem ini dapat pula Anda peroleh dari hal berikut ini.-1 = (−4)2−4.1.34.1=(𝑏)2−4.𝑎.𝑐4.𝑎= −𝐷4𝑎D = b2–4.a.c disebut sebagai diskriminan.Jadi, titik puncak grafik fungsi y = ax2+ bx + c adalah (−𝑏2𝑎,−𝐷4𝑎)Hasil dari pembahasan di atas dapat Kaliangunakan untuk menggambar grafik fungsi kuadrat secara umum. Oleh karena itu, untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, Kaliancukup menentukan hal-hal berikut.1.Titik potong dengan sumbu y, yaitu (0,c).2.Titik potong dengan sumbu x dengan mengambil nilai y = 0.3.Titik puncak (−𝑏2𝑎,−𝐷4𝑎)Contoh 2.10Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 2x2–2x -4 Alternatif Penyelesaian3.Titik potong dengan sumbu y adalah (0,c) = (0,-4).4.Titik potong dengan sumbu x dan mengambil nilai y = 02x2–2x -4 = 02(x2–x –2) = 0 (kedua ruas dikali 12)x2–x –2 = 0(x + 1)(x –2) = 0X = -1 atau x =2Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (-1, 0) dan (2, 0).3.Titik puncak (−𝑏2𝑎,−𝐷4𝑎) = (−(−2)2.2,(−2)2−4.2.(−4)4.2) = (12,−368)= (12,−92)
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN37Gambar yang didapatkan:(-1, 0) (2, 0)(0, -4)(12,−92)Gambar 2.8Perhatikan dalam contoh 2.9 dan 2.10 di atas fungsi kuadrat y = ax2+ bx + c untuk nilai a > 0, grafiknya buka ke atas atau menghadap ke atas. Sekarang kita coba untuk fungsi kuadrat y = ax2+ bx + c dengan nilai a < 0. Kalianperhatikan contoh berikut.Contoh 2.11Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = -2x2+ 2x + 4 Alternatif Penyelesaian1.Titik potong dengan sumbu y adalah (0,c) = (0,4).2.Titik potong dengan sumbu x dan mengambil nilai y = 0-2x2+ 2x + 4 = 0-2(x2–x –2) = 0 (kedua ruas dikali-12)x2–x –2 = 0(x + 1)(x –2) = 0x = -1 atau x = 2Jadi, titik potongdengan sumbu x adalah (-1, 0) dan (2, 0).3.Titik puncak (−𝑏2𝑎,−𝐷4𝑎) = (22.(−2),(2)2−4.(−2).(4)4.)−2)) = (−12,−36−8) = (12,92)
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN38(12,92)(-1, 0) (2, 0) Gambar 2.9Jadi, grafik fungsi kuadrat y = -2x2+ 2x + 4 menghadap ke bawah.Secara umum, dapat Kaliansimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat y = ax2+ bx + c menghadap ke atas jika a > 0. Sebaliknya, menghadap ke bawah jika a < 0.3.Fungsi Pecahan(Fungsi Rasional)Fungsi pecah dapat didefinisikan sebagai berikut.Fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh 𝒇(𝒙)=𝑷(𝒙)𝑸(𝒙), dengan dengan P(x) dan Q (x) merupakan suku banyak dalam x dan Q(x) ≠ 0 pada domainnya.Contoh fungsi pecah dan grafiknya.f(x) = 1)(dan1−=xxxfxGambar 2.10
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN39Nilai Nol FungsiJika diketahui fungsi 𝑓(𝑥)=𝑃(𝑥)𝑄(𝑥), maka nilai -nilai x yang menyebabkan f(x)= 0 disebut nilai nol dari fungsi f(x). Nilai nol disebut juga pembuat nol atau harga nol. Dapat dibuktikan bahwa jika f(x) = 0, maka juga P(x)= 0. Jadi, untuk mencari nilai nol fungsi 𝑓(𝑥)=𝑃(𝑥)𝑄(𝑥), cukup dicari nilai (nilai-nilai) yang menyebabkan P(x)= 0.Namun perlu diingat bahwa nilai x yang menyebabkan P(x) = 0 belum tentu merupakan nilai nol fungsi f(x). Ini terjadi jika nilai x tersebut ternyata juga membuat Q(x)= 0. Untuk x yang bersama-sama membuat P(x) dan Q(x) bernilai nol menyebabkan f(x) mempunyai nilai tak tentu. Misalnya, pada fungsi (𝑥)=𝑥2−3𝑥+2𝑥2+3𝑥−4,nilai x = 1 bukan nilai nol dari fungsi f(x) sekalipun untuk P(x) = x2-3x + 2 berlaku P(1)= 0. Ini karena juga berlaku Q(1)= 0, sehingga f(1) bernilai tak tentu. Perlu diperhatikan bahwa tidak setiap fungsi pecahanmempunyai nilai nol. Ini terjadi kalau P(x) tidak mungkin berharga nol.Pada pembelajaran sebelumnya kita telah ketahui bahwanilai nol suatu fungsi berkaitan dengan koordinat titik potong grafik dengan sumbu X. Jadi, jika x = a adalah nilai nol dari fungsi f(x), maka (a,0) adalah koordinat titik potong grafik dengan sumbu X.Contoh 2.12Tentukan nilai nol dari 𝑓(𝑥)=3𝑥−62𝑥+1Alternatif Penyelesaian:2x –6 = 02x = 6x = 3Jadi, nilai nol dari fungsi tersebut adalah x = 3.Contoh 2.13Tentukan nilai nol dari fungsi 𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+62𝑥+3Alternatif Penyelesaian:Nilai nol dicari dengan cara berikut.x2–5x + 6 = 0(x –2)(x –3) = 0x = 2 atau x = 3Untuk x = 2 dan x = 3 nilai Q(x) tidak nol.Jadi, nilai nol dari 𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+62𝑥+3adalah x = 2 dan x = 3. Dan grafik f(x) memotong sumbu x di titik (2, 0) dan (3, 0). Jika fungsi f(x) = 𝑃(𝑥)𝑄(𝑥), dan P(x) dalam bentuk ax2+ bx + c =0, ini berarti ada tidaknya nilai nol fungsi tergantung pada diskriminan persamaan kuadrat.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN40Contoh 2.14Tentukan nilai nol dari f(x) = 𝑥2−𝑥+34𝑥−3Alternatif Penyelesaian:Diskriminan dari x2–x + 3 = 0 adalah D = (-1)2–4.1.3 = 1 –12 = -11<0.Karena D < 0, maka fungsi f(x) = 𝑥2−𝑥+34𝑥−3tidak mempunyai nol. Ini berarti grafik fungsi 𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥+34𝑥−3tidak memotong sumbu x.Grafik Fungsi PecahanLangkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi pecahan adalah sebagai berikut:a.Menentukan titik-titik potong dengan sumbu x dan sumbu yb.Menentukan asimptot datar, tegak dan miringc.Membuat tabel yang menunjukkan dimana fungsi bernilai positif (grafik terletak did.atas sumbu x) dan bernilai negatif (grafik terletak di bawah sumbu x)e.Menentukan nilai ekstrim fungsi (hanya untuk fungsi pecah terentu)f.Menentukan titik-titik bantu (kalau perlu)g.Mensketsa kurvanyaJenis-jenis asimptot fungsi pecah:a.Asimptot tegak, diperoleh bila penyebut bernilai nolb.Asimptot datar, diperoleh bila x → ~c.Asimptot miring, hanya untuk jenis fumgsi rasional yang pembilangnya mempunyai derajat lebih tinggi satudaripada penyebutnya Contoh 2.15Gambar sketsa grafik f(x) = 1𝑥Alternatif Penyelesaian:Langkah-langkah menggambar :1.Titik potong sumbu x dan sumbu y tidak ada2.Asimptot-asimptot : tegak : garis x = 0datar : untuk x → ~ diperolehy = f(x) = 0Jadi garis y = 0 sebagai asimptot datar3.Titik-titik bantu :x-1-2-3-41234f(x)-1-12-13-1411213144.Sketsa grafik
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN41Gambar 2.11Contoh 2.16Sketsalah grafik 𝑓(𝑥)=3𝑥+2𝑥+1Langkah-langkah:1.titik-titik potong dengan sumbu x, syarat f(x) = y = 0 ⇒3x + 2 = 0 ⇔x =−23, titik potong dengan sumbu x(−23,0). 2.Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0 ⇒f(x) = y = 2titik potong (0,2)3.Asimptot tegak : x + 1 = 0, garis x = -1 sebagai asimptot tegak4.Asimtot datar: 𝑓(𝑥)=3𝑥+2𝑥+1=𝑥(3+2𝑥)𝑥(1+1𝑥),untuk x → ~ maka1𝑥→0dan 2𝑥→0Jadi asimptot datar: garis y = 3+01+0=35.Titik Bantux-2-3-4123y43123132122232346.Sketsa grafik
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN42Gambar 2.12Contoh 2.17Buat sketsa grafik f(x) = 3𝑥𝑥2+5𝑥+4Alternatif Penyelesaian:Langkah –langkah:1.Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y adalah (0,0)Asimptot –asimptot :a.tegak, diperoleh bila x2+ 5x + 4 = 0, b.(x + 4) (x + 1) = 0c.x = -4 ataux = -1, asimptot tegak adalah garis x = -4 dan x = -1d.datar : f(x) = 3𝑥𝑥2+5𝑥+4=𝑥2ቀ3𝑥ቁ𝑥2ቀ1+5𝑥+4𝑥2ቁ=3𝑥1+5𝑥+4𝑥2e.Untuk 𝑥→~maka 1𝑥→0sehingga 3.01+5.0+4.0=01=02.Sumbu x dibagi menjadi 4 interval oleh titik potong sumbu x dan asimptot tegak.Tentukan tanda f (x) untuk masing-masing interval3.Nilai ekstrimMisalkan f(x) mempunyai nilai ekstrim p. Dengan demikian p = 3𝑥𝑥2+5𝑥+4↔px2+5px+4p=3x↔px2+5px+4p−3x=0Supaya persamaan kuadrat mempunyai akar-akar, D≥0px2+5px+4p−3x=0↔px2+(5p−3)x+4p=0D≥0(5p –3)2–4.p.4p≥0 ↔25p2–30p + 9 -16p2≥0↔9p2–30p + 9 ≥0↔3p2–10p + 3 ≥0↔(3𝑝−1)(𝑃−3)≥0p= y ≤13atau p ≥3Ini menujukkan nilai ekstrim minimum y = 3 dan nilai ekstrim maksimum y = 13Untuk menentukan titik maksimum dan minimum, subtitusi nilai ekstrim maksimum dan minimum ke dalam f (x), diperoleh: titik ekstrim minimum ( -2, 3 ) dan titik ekstrim maksimum (2 , 13).4.Titik-titik bantu
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN435.Sketsa GrafikContoh 2.18Buat sketsa grafik 𝑓(𝑥)=6𝑥23𝑥2+1Alternatif Penyelesaian:Langkah –langkah:1.Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y adalah (0,0)2.Asimptot –asimptot :a.tegak, tidak adab.datar: f(x) = 6𝑥23𝑥2+1=63+1𝑥2Untuk 𝑥→~maka 1𝑥→0sehingga y= 63+0=62=3merupakan asimtot datar.3.f(x) selalu positif untuk x < 0 maupun x > 0.4.Nilai ekstrimMisalkan f(x) mempunyai nilai ekstrim p. Dengan demikian p = 6𝑥23𝑥2+1↔3px2+p=6x2↔3px2−6𝑥2+p=0↔(3p−6)x2+p=0Supaya persamaan kuadrat mempunyai akar-akar, D≥0(3p−6)x2+p=0D≥0(0)2–4.(3p-6).p≥0↔-12p2+ 24p≥0↔p2+ 2p ≥0↔p2–2p ≤0↔𝑝(𝑝−2)≤0Jadi 0 ≤ p ≤ 2 atau 0 ≤ y ≤ 2Ini menyatakan nilai y terletak dalam interval 0 sampai 2. Nilai y minimum adalah 0. titik minimum (0,0). Grafik tidak memiliki nilai maksimum.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN445.Titik-titik bantu.6.Sketsa grafik Catatan :a.asimptot datar grafik 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑝𝑥+𝑞adalah 𝑦=𝑎𝑝b.grafik 𝑦=1𝑥−𝑎dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik 𝑦=1𝑥sebanyak a satuan ke kanan.c.grafik 𝑦=𝑎+1𝑥dapat diperoleh dengan cara menggeses grafik grafik 𝑦=1𝑥sejauh a satuan ke atas.d.Grafik y = 𝑎𝑥+𝑏𝑝𝑥2+𝑞𝑥+𝑟selalu mempunyai asimptot datar sumbu xC.Rangkuman1)Fungsi linear dinyatakan sebagai f(x) = mx + a dikatakan linear karena grafiknya berupa garis.2)Pada fungsi linear bentuk, jika f(x) dinyatakan sebagai y, Kalianmemperoleh persamaan y = mx + a. Persamaan terakhir ini disebut sebagai persamaan garis3)Garis mempunyai kemiringan atau disebut sebagai gradien. Jika Kalianmempunyai dua titik (x1, y1)dan (x2, y2)gradien garis dapat Anda rumuskan sebagai berikut.𝑚=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥14)Tidak setiap persamaangaris merupakan fungsi linear. Sebagai contoh, grafik dari persamaan x = 2 adalah garis, tetapi dia bukan merupakan fungsi sehingga dia bukan merupakan fungsi linear.5)Secara umum, persamaan linear dinyatakan sebagai Ax + By + C = 0 yang A dan B tidak keduanya nol.6)Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1)dan (x2, y2)dapat dicari dengan rumus :𝑦−𝑦1𝑦2−𝑦1=𝑥−𝑥1𝑥2−𝑥1
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN457)Menggambar grafik fungsi kuadrat dapat dilakukan dengan tahap berikut.a.a. Dapatkan koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan,yaitu memilih beberapa nilai x dan menentukan nilai y yang berpadanan.b.Sajikan titik-titik yang Anda peroleh dalam bentuk tabel.c.Plotlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat.d.Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus.8)Cara lain menggambar grafik fungsi kuadrat dengan langkah-langkah berikut:a.Titik potong dengan sumbu y, yaitu (0,c).b.Titik potong dengan sumbu x dengan mengambil nilai y = 0.c.Titik puncak (−𝑏2𝑎,−𝐷4𝑎)9)Grafik fungsi kuadrat y = ax2+ bx + c menghadap ke atas jika a > 0. Sebaliknya, menghadap ke bawah jika a < 0.10)Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x jika D ≥0.11)Grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x jika D < 0.12)Dalam hal D = 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x pada satu titik atau dikatakan menyinggung sumbu x.13)Fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh 𝑓(𝑥)=𝑃(𝑥)𝑄(𝑥), dengan dengan P(x) dan Q (x) merupakan suku banyak dalam x dan Q(x) ≠ 0 pada domainnya.14)Jika f(x) = 0, maka juga P(x)= 0. Jadi, untuk mencari nilai nol fungsi 𝑓(𝑥)=𝑃(𝑥)𝑄(𝑥), cukup dicari nilai (nilai-nilai) yang menyebabkan P(x)= 015)Untuk menggambar grafik fungsi pecah, Kalianbisa mengikuti langkah-langkah berikut:a.Menentukan titik-titik potong dengan sumbu x dan sumbu yb.Menentukan asimptot datar, tegak dan miringc.Membuat tabel yang menunjukkan dimana fungsi bernilai positif (grafik terletak did.atas sumbu x) dan bernilai negatif (grafik terletak di bawah sumbu x)e.Menentukan nilai ekstrim fungsi (hanya untuk fungsi pecah terentu)f.Menentukan titik-titik bantu (kalau perlu)g.Mensketsa kurvanya16)Jenis-jenis asimptot fungsi pecahan:a.Asimptot tegak, diperoleh bila penyebut bernilai nolb.Asimptot datar, diperoleh bila x→ ~c.Asimptot miring, hanya untuk jenis fumgsi rasional yang pembilangnya mempunyai derajat lebih tinggi satu daripada penyebutnya D.Latihan Soal1.Tentukan persamaan garis yang:a.melalui titik (1, 2) dan (-3, 4)b.melalui titik (2, 1) dan gradien m = -122.Gambarlah garis-garis dengan persamaan berikut pada grafik Cartesiusa.y = 4x –2b.3x+ 2y = 12
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN463.Perhatikan gambar garis berikut, tentukan persamaannya.4.Sebuah perusahaan otomotif mengeluarkan produk mobil terbaru dan akan diuji kelayakan jalannya dengan cara dikendarai selama10 jam. Pada 4 jam pertama mobil tersebut telah menempuh jarak 242 km dan setelah 6 jam mobil tersebut telah menempuh 362 km. Jika mobil selalu tetap maka tentukan persamaan garis yang menggambarkan kecepatan mobil.5.Lukislah grafik fungsi kuadrat berikut:a.f(x) = x2–2x–8b.f(x) =-x2+ 6x-56.Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat jika titik potongnya dengan sumbu-X adalah A(4, 0) dan B(–2, 0) serta melalui titik (2, –8)7.Lukislah grafik fungsi pecahan berikut:a.𝑦=3𝑥−2b.𝑦=𝑥−12𝑥2+𝑥−4
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN47Pembahasan Latihan Soal NoPembahasanPedoman Skor1a.melalui titik (1, 2) dan (-3, 4)y−y1y2−y1=x−x1x2−x1→ y−24−2=x−1−3−1↔y−22=x−1−4↔-4(y –2) =2(x –1)↔ -4y + 8 = 2x –2↔ 2y + x = 5↔ 2y + x –5 = 05b.melalui titik (2, 1) dan gradien m = -12y –y1 = m(x –x1) ↔ y –1 = -12(x –2)↔ y –1 = -12x + 1↔ y = -12x + 2↔ 2y + x = –4↔ 2y + x + 4 = 052.a.y = 4x –2Dengan menggunakan tabel diperoleh :xy(x, y)0-2(0, -2)120(12,0)5b.3x + 2y = 12Dengan menggunakan tabel diperoleh :xy(x, y)06(0, 6)40(4,0)5
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN48NoPembahasanPedoman Skor3.Perhatikan, garis memotong sumbu x di titik (6, 0) dan memotong sumbu y di titik (0, 4)Persamaan garis melalui titik (6, 0) dan (0, 4) adalah:y−y1y2−y1=x−x1x2−x1→ y−04−0=x−60−6↔ y4=x−6−6↔ -6y = 4(x –6)↔ -6y = 4x –24↔ -6y –4x = –24↔ 4x +6y = 24↔ 2x +3y = 12104.Misalkan x adalah waktu jalan mobil dan y adalah jarak tempuh mobil, makauntuk x = 4 , y = 242 diperoleh titik (4, 242)Untuk x = 6 , y = 362 diperoleh titik (6, 362)y−y1y2−y1=x−x1x2−x1→ y−242362−242=x−46−4↔ y−242120=x−42↔2(𝑦−242)=120(𝑥−4)↔y−242=60𝑥−240↔ y = 60x + 2Jadi persamaan garis yang menggambarkan kecepatan mobil adalah y = 60x + 2.105.a. Titik potong dengan sumbu-X, yakni x2–2x –8 = 0, (x –4)(x + 2) = 0x1= 4 dan x2= –2Titiknya (–2, 0) dan (4, 0)Titiik potong dengan sumbu-Y, yakni y = x2–2x –8y = (0)2 –2(0) –8 = –8 Titiknya (0, –8)Titik puncak (−𝑏2𝑎,−𝐷4𝑎)= (−(−2)21,−(−2)2−4.1.(−8)41)=(1, -9)5
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN49NoPembahasanPedoman SkorGambar grafik:b.f(x) = -x2+ 6x -5Titik potong dengan sumbu-X, yakni -x2+ 6x –5 = 0x2–6 x + 5 = 0(x –2)(x -3) = 0x1= 2 dan x2= 3Titiknya (2, 0) dan (3, 0)Tiiik potong dengan sumbu-Y, yakni y = -x2+ 6x –5y = (0)2+ 6(0) –5 = –5 Titiknya (0, –5)Titik puncak (−𝑏2𝑎,−𝐷4𝑎)= (−62(−1),−(6)2−4.(−1).(−5)4(−1))=(3, 4)Gambar grafik:56. Fungsi memiliki titik potong dengan sumbu-X adalah A(4, 0) dan B(–2, 0) serta melalui titik (2, –8)Persamaan fungsi :y = a(x –x1)(x –x2)y = a(x –4)(x –(–2))y = a(x –4)(x + 2)y = a(x2–2x –8)10
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN50NoPembahasanPedoman SkorMelalui titik (2, –8) maka : –8 = a((2)2–2(2) –8)–8 = a(4 –4 –8)–8 = a(–8) sehingga a = 1Jadi y = 1(x2 –2x –8)y = x2 –2x –87.a. 𝑦=3𝑥−2Langkah-langkah:1.titik-titik potong dengan sumbu x, syarat f(x) = y = 0 ⇒3𝑥−2= 0 2.Tidak ada titik potong dengan sumbu x3.Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0 ⇒y = 30−2=−32titik potong (0,−32)4.asimptot tegak : x -2 = 0garis x = 2 sebagai asimptot tegak5.Asimtot datar: 𝑓(𝑥)=3𝑥−2=3𝑥1−2𝑥,untuk x → ~ maka 1𝑥→0dan 2𝑥→06.Jadi asimptot datar: garis y = 01=07.Titik bantu8.Gambar grafikX-4-3-2-10134y−12−35−34−1−32−333210𝑏.𝑦=𝑥−12𝑥2+𝑥−11.Titik potong dengan sumbu y adalah (0,1)2.Titik potong dengan sumbu x adalah (1, 0)3.Asimptot –asimptot :tegak, diperoleh bila 2x2+ x -1 = 0(2x -1) (x + 1) = 0x = 12atau x = -1asimptot tegak adalah garis x = 12dan x = -1 10
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN51NoPembahasanPedoman Skordatar : f(x) = 𝑥−12𝑥2+𝑥−1=𝑥2(1𝑥−1𝑥2)𝑥2(2+1𝑥−1𝑥2)=1𝑥−1𝑥22+1𝑥−1𝑥2Untuk 𝑥→~maka 1𝑥→0sehingga 3.02+0−0=02=06.Sumbu x dibagi menjadi 4 interval oleh titik potong sumbu x dan asimptot tegak.Tentukan tanda f (x) untuk masing-masing interval-+ -+-1 121 7.Nilai ekstrimMisalkan f(x) mempunyai nilai ekstrim p. Dengan demikian p = 𝑥−12𝑥2+𝑥−1↔2px2+px−p=x−1↔2px2+px−p−x+1=0Supaya persamaan kuadrat mempunyai akar-akar, D≥02px2+px−p−x+1=0↔2px2+(p−1)x−p+1=0D≥0(p –1)2–4.2p.(-p+1)≥0 ↔p2–2p +1+8p2−8𝑝≥0↔9p2–10p+1 ≥0↔(9𝑝−1)(𝑝−1)≥0+ -+191p= y ≤19atau p=y ≥1Untuk y = 1→1= 𝑥−12𝑥2+𝑥−1↔ 2𝑥2+𝑥−1=𝑥−1↔ 2𝑥2=0↔ 𝑥= 0(0, 1)Untuk y = 19→19= 𝑥−12𝑥2+𝑥−1↔ 2𝑥2+𝑥−1=9(𝑥−1)↔ 2𝑥2+𝑥−1=9𝑥−9↔ 2𝑥2+𝑥−9𝑥−1+9=0↔ 2𝑥2−8𝑥+8=0↔𝑥2−4𝑥+4=0↔(x -2)(x –2)=0x = 2(2, 19)Ini menujukkan nilai ekstrim minimum y = 1 dan nilai ekstrim maksimum y = 19
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN52NoPembahasanPedoman SkorUntuk menentukan titik maksimum dan minimum, subtitusi nilai ekstrim maksimum dan minimum ke dalam f (x), diperoleh: titik ekstrim minimum ( 0, 1 ) dan titik ekstrim maksimum (2 , 19).8.Titik-titik bantu9.Sketsa GrafikminimummaksimumAsymtot tegak x = -1 x = 12Jumlah Skor Maksimum80Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan kalianterhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Rumus Tingkat penguasaan=𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝑥100%Kriteria 90% –100% = baik sekali 80% –89% = baik 70% –79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaan kaliancukup atau kurang, maka kalianharus mengulang kembali seluruh pembelajaran.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN53E.Penilaian DiriBerilah tandaVpada kolom “Ya” jika mampu dan pada kolom “Tidak” jika belum mampu memahami kemampuan berikut:No.Kemampuan DiriYaTidak1.Saya sudah memahami fungsi linear2.Saya sudah dapat menggambar grafik fungsi linear3.Saya sudah memahami fungsi kuadrat4.Saya sudah dapat gambar grafik fungsi kuadrat5.Saya sudah memahami fungsi pecah (rasional)Saya sudah dapat menggambar grafik fungsi pecah (rasional)
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN54EVALUASI1.Manakah diantara relasi-relasi berikut ini merupakan fungsi?A.{ (0,6), (1,6), (2,3), (2,4), (3,5) }B.{ (3,1), (2,5), (3,5), (3,1), (2,4) }C.{ (2,1), (5,3), (4,3), (1,2), (3,3) }D.( (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5) }E.{ (3,1), (1,3), (4,1), (3,4), (1,4) }2.Jika A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } maka manakah dari relasi berikut ini merupakan fungsi?A.f: A →B = { (1,3), (3,2), (2,5), (4,2), (1,4) }B.f: B → A = { (1,3), (3,2), (4,3), (2,5) }C.f: A → A = { (3,1), (2,4), (3,2), (4,2) }D.f: A → B = { (2,1), (1,3), (3,4), (4,2) }E.f: A → B = { (5,3), (2,1), (3,1), 4,2) }3.Manakah diantara grafik berikut ini merupakan fungsi?4.Daerah asal dari fungsi y = 3𝑥+62𝑥−4adalah....A. Df= { x│ x ≠ 3, x R } B. Df= { x│ x > 3, x R }C. Df= { x│ x ≠ –2, x R } D. Df = { x│ x > –2, x R }E. Df= { x│ x ≠ 2, x R }5.Daerah asal dari fungsi y = √2𝑥−6adalah....A. Df= { x│ x ≥ 3, x ∈R } B. Df= { x│ x ≤ 3, x ∈R }C. Df= { x│ x ≥ –3, x ∈R } D. Df = { x│ x ≤ –3, x ∈R }E. Df= { x│ x ≥ 2, x ∈R }6.Daerah asal dari fungsi y = √𝑥2−2𝑥−8adalah....A. Df= { x│ –2 ≤ x ≤ 4 } B. Df= { x│ –4 ≤ x ≤ 2 }C. Df= { x│ x ≤ –2 ataux ≥ 4 } D. Df= { x│ x ≤ –4 atau x ≥ 2 }E. Df= { x│ 0 ≤ x ≤ 4 }7.Suatu fungi linier f(x) = 2x –4 dengan daerah asal Df= { x│ –3 ≤ x ≤ 5 }, maka daerah hasilnya adalah Rf= ...A. {y│ –10 ≤ y ≤ 6 } B. {y│–6 ≤ y ≤ 3 }C. {y│ 5 ≤ y ≤ 10 } D. {y│ 0≤ y ≤ 6 }E. {y│ 2 ≤ y ≤ 8 }
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN558.Jika daerah asal dari fungsi f(x) = x2+ 2x –3 adalah 1 ≤ x ≤ 3, maka daerah hasilnya adalah Rf=....A. –4 ≤ y ≤ 12 B. –4 ≤ y ≤ 5C. 0 ≤ y ≤ 12 D. 0 ≤ y ≤ 4E. –4 ≤ y ≤ 09.Suatu fungsi pecah y = 𝑥+4𝑥−2dengan daerah asal fungsi Df= {x|x ∈R, x≠2}, maka daerah hasilnya Rf= ....A. { y│ y ∈R, y ≠ 2 } B. { y│ y ∈R, y ≠ 1 }C. { y│y ∈R, y ≠ –2 } D. { y│ y ∈R, y ≠ –1}E. { y │ y ∈R, y ≠ 3 }10.Jika A = { 1, 2, 3, 4} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5} maka yang manakah dari berikut inimerupakan fungsi bijektif ?A. f : A → B = {(1,3) , (2,1) , (3,2) , (4,4)}B.f : A → A = {(1,4) , (2,3) , (3,1) , (4,3)}C.f : B → A = {(1,3), (2,4), (5,1), (3,3), (4,2)}D.f : A → B = {(1,2), (2,5), (3,1), (4,3), (2,4)}E.f : B → B = {(1,3), (2,1), (3,2), (4,4), (5,5)}11.Diketahui f(x) = x2–3x + 1 dan g(x) = 2x + 4, maka f(x) . g(x) = ...A. 2x3–2x2–10x + 4 B. 2x3+ 3x2–4x + 5C. x3+ 3x2–5x + 7 D. x3–4x2+ 2x –4E. 2x3+ 5x2–3x + 212.Jika f(x) = x –3 , maka f(x2) –2 f(x) + {f(x)}2= ......A.x2–6x + 9B.x2–8xC.2x2–8x + 12D.2x2–4x + 12E.2x2–4x + 913.Diketahui fungsi f(x) = 2x –4 dan g(x) = x + 3, maka daerah asal dari ቀ𝑓𝑔ቁ(x) adalah....A. {x │ x R } B. {x│ x R, x ≠ –3 }C. {x│ x R, x ≠ 2 } D. {x│ x R, x ≠ 2, x ≠ –3 }E. {x │ x R, –3 ≤ x ≤ 2}14.Jika 𝑓(𝑥)=3𝑥−4dan 𝑔(𝑥)=√3𝑥−6, maka daerah asal dari (f –g)(x) adalah....A. {x │ x R, x ≥ 4 } B. {x│ x R, 2 ≤ x < 4}C. {x│ x R, x ≥ 2, x ≠ 4 } D. {x│ x R, x ≠ 4 }E. {x│ x R, x ≥ 4}15.Diketahui f(x) = x + 1 dan g(x) = x + 5. maka daerah hasil dari ( f . g ) (x) adalah...A. {y │y ≥ 4, y R } B. {y │y ≤ 4, y R }C. {y │y ≥ –4, y R } D. {y │y ≤ –4, y R }E. {y │ y R }16.Sebuah garis melalui titik A(–2, –3) dan B(6, –5). Besar gradien garis itu adalah ...A. –4 B. –14C. 14D. 2 E. 4
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5617.Persamaan garis dengan gradien 3 dan melalui titik P(2, –4) adalah ...A. y = 3x –2 B. y = 3x + 2 C. y = 3x –6D. y = 3x –10 E. y = 3x + 1018.Tim peneliti akan mengamati penurunan populasi harimau Sumatera selama 8 tahun mengikuti pola linier. Jika pada tahun ke-tiga jumlah populasi harimau sebanyak 182 ekor dan pada tahun ke-lima menjadi 170 ekor, berapakah perkiraan populasi harimau sumatera pada tahun ke-9 ?A. 164 ekor B. 158 ekor C. 152 ekorD. 146 ekor E. 140 eko19.Tiga titik yang dilalui grafik fungsi kuadrat y = x2–2x + 6 adalah ....A.(-1, 5), (0, 6), (1, 9)B.(-1, 9), (0, 6), (1, 5)C.(-1, 9), (0, 5), (1, 5)D.(-1, 3), (0, 5), (1, 9)E.(-1, 5), (0, 6), (1, 3)20.Nilai ekstrim dari fungsi y = 6x2+ 12x adalahA. Nilai maksimum 6 B. Nilai minimum –6C. Nilai maksimum 9 D. Nilai minimum –9E. Nilai minimum –521.Jika titik potong dengan sumbu X suatu fungsi kuadrat adalah (-4, 0) dan (3, 0), maka persamaan sumbu simetrinya adalah ...A. x = 2 B. x = -2 C. x = 12D. x = -12E. x = 322.Grafik dari fungsi kuadrat y = -x2+ 4x –1 mempunyai titik puncak,yaitu ....A.(-2,-13)B.(-2, 3)C.(0, -1)D.(2, 3)E.(4, 3)23.Daerah asal fungsi pecah f(x) = 2𝑥3−6𝑥2adalah....A.Df:{x| x R, x2}B.Df:{x| x R, x1}C.Df:{x| x R, x0}D.Df:{x| x R, x-1}E.Df:{x| x R, x-2}24.Asimtot tegak dari fungsi f(x) = 𝑥𝑥2−𝑥−2adalah....A.x = -1 dan x = 0C. x = -1 dan x =2B.x = 2 dan x = -1D. x = 1 dan x = -2E.x = -1 dan x = 225.Pernyataan di bawah ini yang tidak sesuaiuntukgrafikfungsi f(x) = 𝑥2−4𝑥−1adalah....A.Titik potong dengan sumbu X adalah(-2, 0) dan (2, 0)B.Titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 4)C.Asimtot datar y = 1D.Asimtot tegak x = 1E.Tidak memiliki nilai ekstrim.
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN57KUNCI JAWABAN EVALUASINo.KunciNo.Kunci1.C16.B2.D17.D3.C18.B4.E19.B5.A20.B6.C21.D7.A22.D8.C23.C9.B24.E10,E25.C11.A12.C13.B14.C15.E
Modul Matematika Umum Kelas X KD 3.5@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN58DAFTAR PUSTAKAAmin, Siti M. 2004. Relasi dan Fungsi. Bagian Pengembangan Proyek Kurikulum Dikmenjur. DepartemenPendidikan Nasional. JakartaLestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untukSMA/MA Program Studi IPS Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.Markaban. 2009. Relasi dan Fungsi. Yogyakarta. PPPPTK Matematika Yogyakarta.Sinaga, Bornok. Dkk. 2017. Matematika SMA Kelas X. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: PusatPerbukuan Departemen Pendidikan Nasional.Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XIProgram IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional